——求解数学物理方程的近似方法。主要用于椭圆型边值问题，W·里茨于1908年对此做了开创性的工作。这类方法从变分原理出发，选定有限个试探函数□□，□□，…，□□，用它们的线性组合□构造近似解，□从而把问题归结为确定组合中的系数。极小值原理：表达物理基本定律的一种形式，其表达可概括如下：给出一个依赖于物理状态□（为一函数）的变量□（□）（数学上称为泛函），同时给出□（□）的容许函数集□，即一切容许取的物理状态，则真实的物理状态就是□中使□（□）达到极小值的函数□。例如弹性力学中著名的极小能量原理的表述是：弹性体在外力作用下的平衡位移使总势能达到极小。这里，总势能是位移函数的泛函。现讨论小变形的均匀弹性膜，膜在区域□上的垂直位移用函数□（□，□）表示，假定在边界□□上膜固定在坐标平面上，即□，（1）在外力□（□，□）作用下弹性膜的总势能为□（2）它的容许函数集□是满足边界条件（1）并使积分（2）存在的全体函数。由极小能量原理得出：弹性膜的平衡位移□是□中使总势能（2）达到极小的函数，即□。（3）虚功原理又称虚位移原理，在力学中与极小能量原理同属变分原理。它的一般表述是：平衡系的力对虚位移所作的虚功为零。在弹性膜的例子中，如果仍以□表示平衡位移，则虚功原理可表达为：对所有□□□□□，□使□（4）成立。变分问题（3）或（4）确定的平衡位移□，也是泊松方程第一边值问题的解，即□满足□式中□为拉普拉斯算子。里茨法：从与微分方程问题等价的极小值原理出发，选择有限个试探函数□□□，□□，…，□□，在它们的线性组合□中去找近似解。一般而言，试探函数□□须属于容许函数集□。把□代入（2），得到□（5）式中□，□。由多元微分学可推出极小解□的系数□□应满足□（6）故问题归结为求解线代数方程组（6）。加廖金法：从虚功方程（4）出发，把近似解表为试探函数□□，□□，…，□□的线性组合□，另选定函数□□，□□，…，□□作为（4）中的虚位移，□□也须满足边界条件（1），称为检验函数。将线性组合代入虚功方程（4），得到□利用分部积分公式得□。若取□□=□□，可看出方程组（7）即方程组（6），也就是说这时里茨法与加廖金法一致。由于检验函数□□的选择可不同于试验函数□□，另外，对非自共轭问题□□=□不存在等价的极小值问题，但可建立等价的广义虚功方程□加廖金法仍可用，所以加廖金法是里茨法的推广，它比里茨法更灵活和广泛。里茨－加廖金法的有效使用依赖于试探函数和检验函数的选取，传统的做法是选取代数或三角多项式之类的解析函数，其优点是，对光滑解只需很少几个□□，近似解就能达到很高的精度。在电子计算机出现之前，这种方法比较切合实际。但这样选取的函数只当区域□的形状很特殊才能满足给定的边界条件，故在应用上受到很大限制。随着电子计算机的出现，产生了有限元方法，它继承了里茨-加廖金法从变分原理出发的基本特点，但不用多项式之类的解析函数，而是用剖分插值的方法构造试探函数和检验函数，从而使方法具有极大的灵活适用性，能很好地处理复杂的几何形状、间断介质以及奇性载荷等情况，在科学与工程的计算中获得广泛的使用。